Задачки від Pythagoras Magazine: чи зможете ви вирішити їх? (Рішення та відповіді)

0
187

Найвідоміша в світі теорема носить ім’я грецького мислителя Піфагора. А ще в честь нього названий знаменитий голландський журнал, присвячений цікавої математики — Pythagoras Magazine. У цьому році журнал святкує п’ятдесятиріччя, і до цієї дати було вирішено випустити збірку кращих статей, загадок, головоломок та завдань на англійській мові. Придбати книгу можна за 45 доларів, а поки ви роздумуєте над придбанням, ми слідом за британською газетою The Guardian публікуємо три задачки з книги. Вдалого вам рішення!

1. Задачка про мішок доларів

В мішку лежить 26 доларових купюр номіналом 1, 2 і 5 доларів. Відомо, що якщо ви будете витягувати купюри по одній, не дивлячись, то, витягнувши 20, ви витягнете як мінімум 1 однодоларову купюру, дві дводоларових і п’ять — по п’ять доларів. Питання: скільки грошей в мішку?

Рішення:

Припустимо, що в мішку a банкнот номіналом 1 долар, b дводоларових купюр і c п’ятидоларових. Всього в мішку 26 купюр, тому витягнувши 20, ми залишимо всередині 6. Якщо, залишивши в мішку шість купют, ми напевно витягнемо з нього хоч одну однодоларову, значить

a ≥ 6 + 1

Міркуючи таким чином, отримуємо ще два нерівності:

b ≥ 6 + 2;

c ≥ 6 + 5,

а всього в мішку, як відомо, 26 банкнот. Взявши мінімальні значення a, b і c, отримаємо 7, 8 і 11, а в сумі — 26. Підставивши номінали, ми дізнаємося, скільки грошей в мішку: 7*1 + 8*2 + 11*5 = 78.

Відповідь: в мішку 78 доларів.

 

2. Задачка про величезний пиріг

Величезний пиріг розділили між сотнею гостей. Перший гість отримав 1% цілого пирога, другий — 2% того, що залишилося, третій — 3% того, що залишилось після перих двох гостей, і так далі. Останній гість отримав 100% того, що залишилось після 99-го гостя. Чий шматок пирога виявився найбільшим?

Рішення:

Якийсь із гостей з номером k відріже собі шматочок від деякої частини пирога x. Його для складе x, помножене на (k/100). Від пирога залишиться x — x (k/100) = x (100-k)/100. Наступний гість k + 1 отримає шматок пирога, рівний x, помножене на ((100-k)/100)((k + 1)/100).

Виходить, що гість k + 1 отримає більше, ніж гість k, якщо (100-k)/100)((k + 1)/100) > k/100. Розкривши дужки і привівши подібні, отримаємо нерівність — k2 — k + 100 > 0. Воно вірно для k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. Виходить, що порція буде рости для гостей з 1 по 9, а з десятого гостя почне зменшуватися.

Відповідь:

Краще всього бути десятим гостем — він отримає найбільший шматок пирога.

Оцініть статтю

НАПИСАТИ ВІДПОВІДЬ

Please enter your comment!
Please enter your name here